Sifat-Sifat Relasi
1. Refleksif
(Reflexive)
Definisi :
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A
Definisi
di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A
berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada
himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).
Contoh 1:
Misalkan
A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
:
a.
Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2),
(3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi
yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
b.
Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3),
(4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).
Contoh
2:
Relasi
“habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena
setiap bilangan bulat posifit selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga
(a,a) Î
R untuk setiap a Î
A.
Contoh 3:
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif
R : x lebih besar dari y
S : x + y = 5
T : 3x + y = 10
Mana
diantara ketiga relasi tersebut yang bersifat refleksif ?
2. Setangkup
(Symmetric) dan Tolak-Setangkup (Antisymmetric)
Definisi Setangkup
(Symmetric) :
Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) Î R, maka (b,a) Î R , untuk a,b Î A
Definisi
di atas menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) Î
R sedemikian sehingga (b,a) Ï
R.
Contoh:
Misalkan
A adalah himpunan mahasiswa Teknik Informatika STIKOM Poltek Cirebon dan R
adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika a satu jurusan dengan
b.
Maka
jika dibalik, b pun se-jurusan dengan a. Jadi bisa dikatakan bahwa R setangkup.
Contoh
lain:
Misalkan
T adalah relasi pada himpunan bilangan bulat positif sedemikian sehingga (a,b) Î
T jika dan hanya jika a ³
b.
Jelas
dong...T tidak setangkup, karena misalnya (6,5) Î T tetapi (5,6) Ï
T.
Definisi
Tolak-Setangkup (antisymmetric) :
Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika
(a,b) Î
R dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.
Definisi
di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) Ï R kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa
relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.
Contoh:
Misalkan
A adalah himpunan tes seleksi yang diadakan untuk masuk bekerja ke sebuah
perusahaan (misalnya tes membaca cepat, tes menulis cepat, tes berjalan cepat,
dsb).
Terus.....misalkan
R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika tes a dilakukan sebelum tes b.
Jadi
jelas dong....jika tes a dilakukan sebelum tes b, tes b tidak mungkin dilakukan
sebelum tes a untuk dua tes a dan b yang berbeda.
Dengan
kata lain, (b,a) Ï
R kecuali a = b. Jadi R adalah relasi tolak-setangkup.
Contoh lagi :
Misalkan
A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
-
Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,1),
(2,2), (2,4), (4,2), (4,4)} bersifat setangkup karena jika (a,b) Î
R maka (b,a) juga Î
R.
Disini
(1,2) dan (2,1) Î
R, begitu juga (2,4)
dan (4,2) Î R.
-
Relasi R = {(1,1), (2,3), (2,4),
(4,2)} tidak setangkup karena (2,3) Î R tetapi (3,2) Ï
R
-
Relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3)}
tolak-setangkup karena (1,1) Î
R dan 1 = 1, (2,2) Î
R dan 2 = 2, (3,3) Î
R dan 3 = 3.
Betul
ngga yach....bahwa R juga setangkup ??
-
Relasi R = {(1,1), (1,2), (2,2),
(2,3)} tolak-setangkup karena (1,1) Î R dan 1 = 1, serta (2,2) Î
R dan 2 = 2.
Betul
ngga yach....bahwa R tidak setangkup ??
-
Relasi R = {(1,1), (2,4), (3,3),
(4,2)} tidak tolak-setangkup karena 2 ≠ 4 tetapi (2,4) dan (4,2) anggota R.
-
Relasi R = {(1,2), (2,3), (1,3)} tidak
setangkup tetapi tolak-setangkup.
Contoh berikutnya :
1. Relasi “habis membagi” pada himpunan
bilangan bulat positif dikatakan tidak setangkup karena jika a habis membagi b,
b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.
Misalnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak
habis membagi 2. Karena itu (2,4) Î R tetapi (4,2) Ï
R.
2. Relasi “habis membagi” pada himpunan
bilangan bulat positif dikatakan tolak-setangkup karena jika a habis membagi b
dan b habis membagi a maka a = b.
Misalnya, 4 habis membagi 4 maka oleh karena
itu (4,4) Î
R dan 4 = 4.
Contoh lagi ??
Tiga
buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilanga bulat positif.
R : x lebih
besar dari y
S : x + y =
6
T : 3x + y =
10
R
bukan relasi setangkup karena, misalnya 5 lebih besar dari 3, tetapi 3 tidak
lebih besar dari 5.
S
relasi setangkup karena, misalnya (4,2) dan (2,4) adalah anggota S.
T
tidak setangkup karena, misalnya (3,1) adalah anggota T tetapi (1,3) bukan
anggota T.
S
bukan relasi tolak-setangkup karena, misalnya (4,2) dan (4,2) Î
S tetapi 4 ≠ 2.
R
dan T keduanya tolak-setangkup.....sok buktikan !!!
3. Menghantar
(transitive)
Definisi:
Relasi R pada himpunan
A disebut menghantar jika (a,b) Î R dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua a,b,c Î A
Ilustrasinya:
Misalkan
A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î
R jika dan hanya jika b adalah keturunan a.
Jika
b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R,
dan c adalah keturunan b, yaitu (b,c)
Î
R maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î
R.
Jadi,
R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian
sehingga (a,b) Î
T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.
Contoh 1:
Misalkan
A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
(a)
R = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1),
(4,2), (4,3)} bersifat menghantar. Perhatikan tabel berikut :
Pasangan
berbentuk
|
(a,b)
|
(b,c)
|
(a,c)
|
|
(3,2)
|
(2,1)
|
(3,1)
|
|
(4,2)
|
(2,1)
|
(4,1)
|
|
(4,3)
|
(3,1)
|
(4,1)
|
|
(4,3)
|
(3,2)
|
(4,2)
|
(b) R
= {(1,1), (2,3), (2,4), (4,2)} tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) Î
R, tetapi (2,2) Ï
R, begitu juga (4,2) dan (2,3) Î
R, tetapi (4,3) Ï
R.
(c) R
= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} jelas menghantar.....mangga buktikan !!!
Contoh 2:
Relasi
“habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar.
Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan
positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb.
Disini
c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat
menghantar.
Contoh 3:
Tiga
buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif
R : x lebih
besar dari y
S : x + y =
6
T : 3x + y =
10
R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y
> z maka x > z.
S
tidak menghantar karena, misalkan (4,2) dan (2,4) adalah anggota S tetapi (4,4)
Ï
S.
T
tidak menghantar karena, misalkan T = {(1,7), (2,4), (3,1)}
